気ままな数学ノート

「調べても分からない」に寄り添う

MENU

【2次関数の決定】軸を求めずにa,b,cの符号を決める裏ワザ(bは微分係数f'(0))

 ◎問題

2次関数 y=ax^2+bx+c が次のような図になっているとき

 abc の符号を求めなさい

解答

aの符号

下に凸のグラフであるから a\lt0 

cの符号

 y 切片が正の部分にあるから,c\gt0

bの符号

 f(x)=ax^2+bx+c として

 f'(x)=2ax+b から,f'(0)=b 

 y 切片における接線の傾きが負であるから b\lt0

それぞれの符号の考え方

aの符号の考え方

aの符号はグラフの形で決まります

今回の問題では,下に凸のグラフなので a\lt0 

cの符号の考え方

 c の符号は2次関数の y 切片の位置で決まります

 y 切片が正の部分(x 軸より上)にあるから,c\gt0 

bの符号の考え方

 f(x)=ax^2+bx+c としたとき,微分の考え方から

2次関数 f(x)=ax^2+bx+c 上の点 (x,f(x))における

接線の傾きはf'(x)=2ax+b と表せる

ので, y 切片( x=0 )での接線の傾きは f'(0)=b 

つまり,「2次関数 f(x)=ax^2+bx+c  の y 切片における接線の傾きは b 」と考えられます

2次関数の接線の方程式

2次関数 y=ax^2+bx+cy 切片における接線の方程式は

 y=bx+c と言えますね

さいごに

微分の考え方を知っていれば

平方完成をせずに「bの符号」や「2次関数の頂点の x 座標」を求めることができますね