気ままな数学ノート

「調べても分からない」に寄り添う

【２次関数の決定】係数a,b,cの符号を微分で解く裏ワザを紹介します

数学

◎問題

２次関数 $y=ax^2+bx+c$ が次のような図になっているとき

$a$ ， $b$ ， $c$ の符号を求めなさい

解答
それぞれの符号の考え方
さいごに

解答

ａの符号

下に凸のグラフであるから $a\lt0$

ｃの符号

$y$ 切片が正の部分にあるから， $c\gt0$

ｂの符号

$f(x)=ax^2+bx+c$ として

$f'(x)=2ax+b$ から， $f'(0)=b$

$y$ 切片における接線の傾きが負であるから $b\lt0$

それぞれの符号の考え方

ａの符号の考え方

aの符号はグラフの形で決まります

今回の問題では，下に凸のグラフなので $a\lt0$

ｃの符号の考え方

$c$ の符号は２次関数の $y$ 切片の位置で決まります

$y$ 切片が正の部分（ $x$ 軸より上）にあるから， $c\gt0$

ｂの符号の考え方

$f(x)=ax^2+bx+c$ としたとき，微分の考え方から

２次関数 $f(x)=ax^2+bx+c$ 上の点 $(x,f(x))$ における

接線の傾きは $f'(x)=2ax+b$ と表せる

ので， $y$ 切片（ $x=0$ ）での接線の傾きは $f'(0)=b$

つまり，「２次関数 $f(x)=ax^2+bx+c$ の $y$ 切片における接線の傾きは $b$ 」と考えられます

２次関数の接線の方程式

２次関数 $y=ax^2+bx+c$ の $y$ 切片における接線の方程式は

$y=bx+c$ と言えますね

さいごに

微分の考え方を知っていれば

平方完成をせずに「ｂの符号」や「２次関数の頂点の $x$ 座標」を求めることができますね