気ままな数学ノート

「調べても分からない」に寄り添う

【絶対値記号を２つ含む式の外し方】場合分けは数直線で考えると分かりやすい

数学

◎問題

$|x-2|+|x-5|$ の絶対値記号を外しなさい

それぞれの絶対値について場合分け
- |x-2| について
- |x-5| について
それぞれの場合分けをまとめる
よくある疑問「なぜ４パターンでは無いのか？」
さいごに

それぞれの絶対値について場合分け

|x-2| について

$|x-2|$ は

$x-2\geqq0$ つまり， $x\geqq2$ のとき

　　 $|x-2|=x-2$

$x-2\lt0$ つまり， $x\lt2$ のとき

　　 $|x-2|=-(x-2)=-x+2$

よって

　　 $x\geqq2$ のとき　 $|x-2|=x-2$

　　 $x\lt2$ のとき　 $|x-2|=-x+2$

この場合分けを数直線で表すと

|x-5| について

$|x-5|$ は

$x-5\geqq0$ つまり， $x\geqq5$ のとき

　　 $|x-5|=x-5$

$x-5\lt0$ つまり， $x\lt5$ のとき

　　 $|x-5|=-(x-5)=-3x+5$

よって

　　 $x\geqq5$ のとき　 $|x-5|=x-5$

　　 $x\lt5$ のとき　 $|x-5|=-x+5$

この場合分けを数直線で表すと

それぞれの場合分けをまとめる

$|x-2|$ は２以上かどうか， $|x-5|$ は５以上かどうかで絶対値の外し方が変わることが分かりました

これをまとめると

① $x\lt2$ のとき

　 $|x-2|+|x-5|=-(x-2)-(x-5)$

② $2\leqq{x}\lt5$ のとき

　 $|x-2|+|x-5|=(x-2)-(x-5)$

③ $5\leqq{x}$ のとき

　 $|x-2|+|x-5|=(x-2)+(x-5)$

と場合分けができますね

よくある疑問「なぜ４パターンでは無いのか？」

この４つ目がないのでは？

と疑問に感じるときは，先ほどの数直線で考えてみましょう

４つ目の場合分け

　 $|x-2|+|x-5|=-(x-2)+(x-5)$

となるのは， $x$ が $5$ 以上で $2$ 未満になるとき

つまり， $5\leqq{x}\lt2$ のときですが

これを満たす数は存在しないため，この場合分けになることはありません

さいごに

絶対値の場合分けを考えるときは，ひと手間増えてしまいますが

数直線を書いて視覚的にとらえたほうが分かりやすくなるのではないでしょうか