気ままな数学ノート

「調べても分からない」に寄り添う

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【メネラウスの定理】どの三角形と直線に注目すればいいかを解説します

◎問題

CQ:QAを求めなさい

解)CQ:QA

△ABCと直線RPについて,メネラウスの定理を用いると

 \dfrac{BP}{PC}\cdot\dfrac{CQ}{QA}\cdot\dfrac{AR}{RB}=1 から

    \dfrac{7}{3}\cdot\dfrac{CQ}{QA}\cdot\dfrac{3}{2}=1 

      \dfrac{7}{2}\cdot\dfrac{CQ}{QA}=1

よって, CQ:QA=2:7

どの三角形と直線に注目すればいいの?

メネラウスの定理の考え方は
「頂点→分点→頂点→分点→頂点→分点→頂点」

メネラウスの定理は

ある点をスタートし,6回の移動で三角形とその延長線上を一周します

大切なのは,この6回の移動が

頂点と内分点(または外分点)を交互に移動している

つまり,

「頂点→分点→頂点→分点→頂点→分点→頂点」の順に一周することです

頂点と分点を書いてみる

点Bを出発点として,頂点と分点を書き込むと

3つの頂点が分かれば,どの三角形に注目しているのかが分かります

それぞれの点を書いてみると

頂点がA,B,Cと分かったので

注目している三角形は△ABCと言えます

また,分点P,Q,Rは直線PR上にあるので

「△ABCと直線PRについてメネラウスの定理を利用した」

ことになりますね