気ままな数学ノート

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【数学パズル】確率の難問「モンティーホール問題」は枚数を増やして考えると分かりやすい

◎問題

同じ模様のカードが3枚あり,その中の1枚は裏面に当たりと書かれています

この3枚の中から1枚のカードを選んだとき,カードの裏側を確認する前に

選ばなかった2枚のうちハズレである1枚が取り除かれ,カードを選び直すかどうかを聞かれます

このとき,あなたはカードを選び直しますか?それとも選び直しませんか?

また,選び直すかどうかで当たる確率が変わるでしょうか

答)モンティーホール問題の解答

選び直したほうが当たる確率が2倍になる

 当たる確率は

 選びなおさない とき  \dfrac{1}{3}

 選びなおした  とき  \dfrac{2}{3}

よくある誤答

選びなおすと当たる確率が \dfrac{1}{2} になる

 →最初から「当たり」「はずれ」2枚だけなら \dfrac{1}{2} で良いが
  今回はそうではありません

選びなおしても当たる確率は \dfrac{1}{3} で変わらない

 →選んだ後にハズレである1枚を知ってしまうと確率は変化します
  (クジ引きの席替えで狙っている席以外が埋まっていくのを見ると,狙っている席を引ける確率が高くなると感じます)

考え方

最初に1枚のカードを選ぶとき,当たる確率はどれを選んでも \dfrac{1}{3} です

 このとき,選ばなかった2枚のどちらかが当たりである確率は \dfrac{2}{3}

 (選ばなかった2枚の両方を裏返したときに当たる確率は \dfrac{2}{3} と考えてもいいでしょう)

ここで,選ばれなかったカード2枚のうちハズレ1枚を裏返します

 すると,裏返しにならなかった1枚が当たりである確率が \dfrac{2}{3} となります

カードの枚数を増やして考える

カードを3枚から10枚に増やして考えましょう

 10枚のうち1枚が当たりとすると

 最初に選んだカードが当たる確率は \dfrac{1}{10} ですね

このとき,選ばれなかった9枚のうちどれか1枚が当たりである確率は \dfrac{9}{10}

 (選ばなかった9枚の全部を裏返したときに当たる確率は \dfrac{9}{10} と考えるといい)

ここで,選ばれなかった9枚のうちハズレ8枚を裏返します

 裏返しにならなかった1枚があたる確率は,

 選ばなかった9枚の全部を裏返したときに当たる確率 \dfrac{9}{10} と同じと言えますね

さいごに

モンティーホール問題を条件付き確率として考えると

n 枚の中から最初の1枚を選んだ後に,残った n-1 枚のうち n-2 枚がハズレであると分かったときの残り1枚が当たる確率」となるようです

この確率を文字を使って表してみるのも,興味深いですね