【数学パズル】確率の難問「モンティーホール問題」は枚数を増やして考えると分かりやすい

◎問題

同じ模様のカードが３枚あり，その中の１枚は裏面に当たりと書かれています

この３枚の中から１枚のカードを選んだとき，カードの裏側を確認する前に

選ばなかった２枚のうちハズレである１枚が取り除かれ，カードを選び直すかどうかを聞かれます

このとき，あなたはカードを選び直しますか？それとも選び直しませんか？

また，選び直すかどうかで当たる確率が変わるでしょうか

選び直したほうが当たる確率が２倍になる

　当たる確率は

　選びなおさない　とき　 $\dfrac{1}{3}$

　選びなおした　　とき　 $\dfrac{2}{3}$

選びなおすと当たる確率が $\dfrac{1}{2}$ になる

　→最初から「当たり」「はずれ」２枚だけなら $\dfrac{1}{2}$ で良いが
　　今回はそうではありません

選びなおしても当たる確率は $\dfrac{1}{3}$ で変わらない

　→選んだ後にハズレである１枚を知ってしまうと確率は変化します
　　（クジ引きの席替えで狙っている席以外が埋まっていくのを見ると，狙っている席を引ける確率が高くなると感じます）

最初に１枚のカードを選ぶとき，当たる確率はどれを選んでも $\dfrac{1}{3}$ です

　このとき，選ばなかった２枚のどちらかが当たりである確率は $\dfrac{2}{3}$

　（選ばなかった２枚の両方を裏返したときに当たる確率は $\dfrac{2}{3}$ と考えてもいいでしょう）

ここで，選ばれなかったカード２枚のうちハズレ１枚を裏返します

　すると，裏返しにならなかった１枚が当たりである確率が $\dfrac{2}{3}$ となります

カードを３枚から１０枚に増やして考えましょう

　１０枚のうち１枚が当たりとすると

　最初に選んだカードが当たる確率は $\dfrac{1}{10}$ ですね

このとき，選ばれなかった９枚のうちどれか１枚が当たりである確率は $\dfrac{9}{10}$

　（選ばなかった９枚の全部を裏返したときに当たる確率は $\dfrac{9}{10}$ と考えるといい）

ここで，選ばれなかった９枚のうちハズレ８枚を裏返します

　裏返しにならなかった１枚があたる確率は，

　選ばなかった９枚の全部を裏返したときに当たる確率 $\dfrac{9}{10}$ と同じと言えますね

モンティーホール問題を条件付き確率として考えると

「 $n$ 枚の中から最初の１枚を選んだ後に，残った $n-1$ 枚のうち $n-2$ 枚がハズレであると分かったときの残り１枚が当たる確率」となるようです

この確率を文字を使って表してみるのも，興味深いですね