気ままな数学ノート

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【証明】数学的帰納法に納得できないときの考え方を紹介します

数学の証明で使われる「数学的帰納法

なぜこの方法で証明ができるのか,なかなか納得がいかない人も多いのではないでしょうか

今回は有名な「ドミノ倒し」を使って数学的帰納法を考えてみます

◎問題

永遠に続いているドミノ倒しがあります
このドミノがすべて倒れること説明したいとき,どうやって説明すればよいでしょうか

答)永遠ドミノが全て倒れる説明

①1枚目を押したとき、1枚目が倒れる

②2枚目以降について

 続いて2枚目が倒れ、3枚目が倒れる...

 k枚目が倒れたら(ここが仮定),その次のk+1枚目も倒れる

これがずっと続くなら,

 1000 枚目が倒れたとき,1001 枚目が倒れ...と

どんなに大きな数でもドミノは全て倒れると言えそうですね

ドミノを数学的帰納法で考える

並んでいるドミノの n 枚目に注目して,数学的帰納法で考えると

n=1 のとき,成り立つ(倒れる)

n\geqq2 として

  n=k のとき,成り立つと仮定すると
  n=k+1 でも成り立つ

実際には問題文で出てくる数式を変形することで

 n=k の仮定からn=k+1 のときも成り立つことが言えれば

 n がどんなに大きな数でもドミノ式に成り立つことが証明できます

数学的帰納法のイメージ

イメージとしては

 1番目が成り立つ⇒2番目が成り立つ
 2番目が成り立つ⇒3番目が成り立つ
 3番目が…

これがずっと続くことを証明しているような感じでしょうか

さいごに

数学的帰納法では

 n=k のときの仮定をうまく変形して
 n=k+1 の形を作りだす必要があるため

そこは演習を重ねて慣れていくことが大切ですね