【証明】数学的帰納法に納得できないときの考え方を紹介します

数学の証明で使われる「数学的帰納法」

なぜこの方法で証明ができるのか，なかなか納得がいかない人も多いのではないでしょうか

今回は有名な「ドミノ倒し」を使って数学的帰納法を考えてみます

◎問題

永遠に続いているドミノ倒しがあります
このドミノがすべて倒れること説明したいとき，どうやって説明すればよいでしょうか

①１枚目を押したとき、１枚目が倒れる

②２枚目以降について

　続いて２枚目が倒れ、３枚目が倒れる...

　ｋ枚目が倒れたら（ここが仮定），その次のｋ＋１枚目も倒れる

これがずっと続くなら，

　1000 枚目が倒れたとき，1001 枚目が倒れ...と

どんなに大きな数でもドミノは全て倒れると言えそうですね

並んでいるドミノの $n$ 枚目に注目して，数学的帰納法で考えると

① $n=1$ のとき，成り立つ（倒れる）

② $n\geqq2$ として

　 $n=k$ のとき，成り立つと仮定すると
　 $n=k+1$ でも成り立つ

実際には問題文で出てくる数式を変形することで

$n=k$ の仮定から $n=k+1$ のときも成り立つことが言えれば

$n$ がどんなに大きな数でもドミノ式に成り立つことが証明できます

イメージとしては

　１番目が成り立つ⇒２番目が成り立つ
　２番目が成り立つ⇒３番目が成り立つ
　３番目が…

これがずっと続くことを証明しているような感じでしょうか

$n=k$ のときの仮定をうまく変形して
$n=k+1$ の形を作りだす必要があるため

そこは演習を重ねて慣れていくことが大切ですね