気ままな数学ノート

「調べても分からない」に寄り添う

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個数を数えるときの+1ってなんだ?

◎問題 6から10までに数はいくつあるか 誤答と正解 誤答 から, 個 正解1 の 個 正解2 から 個 なぜ10-6ではダメなのか の計算を数字を書いて考えると この計算では, から までの個数が 個という意味になってしまい が含まれていないためダメですね…

【三角関数の合成】sinθの前がx座標,cosθの前がy座標となる理由を解説します

◎問題 を の形にしなさい この問題を解くときに と座標を書き と を求めますが 「sinθの前がx座標,cosθの前がy座標」となることに違和感を感じたことがあるのではないでしょうか その理由は での三角関数の合成が,「加法定理の逆であるから」です 三角関数…

【判別式】D/4はxの係数が偶数のときに使う

◎問題 次の2次方程式の解の個数を求めなさい (1) (2) 解答1) 判別式Dを使う 判別式D/4を使う 解答2) 判別式Dを使う 判別式D/4を使う さいごに 解答1) 判別式Dを使う の判別式をDとすると よって, から実数解の個数は2つ 判別式D/4を使う の判別式をDとす…

【不等式】不等号の向きが逆になるのはどんなとき?

不等式を解くときに不等号の向きが逆になるのはどんなときなのか 結論は「xの係数が ー マイナスのとき」です ◎問題 次の不等式を解きなさい (1) (2) (3) (4) (5) (6) 不等式の四則計算(+-×÷)の具体例 解答(1) 3x>6 解答(2) 3x>-6 解答(3) -3x>6 解答(4)…

絶対値が2つある式の解き方と,場合分けが3通りである理由も解説します

この記事を読むと,絶対値が2つの場合分けを数直線でイメージできるようになります。また、場合分けが4パターンにならない理由も解説しています

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【2次関数の決定】軸を求めずにa,b,cの符号を決める裏ワザ(bは微分係数f'(0))

◎問題 2次関数 が次のような図になっているとき , , の符号を求めなさい 解答 aの符号 cの符号 bの符号 それぞれの符号の考え方 aの符号の考え方 cの符号の考え方 bの符号の考え方 2次関数の接線の方程式 さいごに 解答 aの符号 下に凸のグラフで…

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【絶対値記号の外し方】場合分けで大切なのは「中身が0以上かどうか」

◎問題 次の式の絶対値記号を外しなさい (1) |x| (2) |x-2| (3) |3x+5| 解答(1) |x| 解答(2) |x-2| よくある誤答 正しい考え方 解答(3) |3x+5| 解答(1) |x| は のとき のとき 解答(2) |x-2| よくある誤答 は のとき のとき この考え方は「0以上かどうか」に…

【メネラウスの定理】どの三角形と直線に注目すればいいかを解説します

◎問題 CQ:QAを求めなさい 解)CQ:QA どの三角形と直線に注目すればいいの? メネラウスの定理の考え方は「頂点→分点→頂点→分点→頂点→分点→頂点」 頂点と分点を書いてみる 解)CQ:QA △ABCと直線RPについて,メネラウスの定理を用いると から よって, どの三…

【整式の割り算】あまり(ax^2+bx+c)をさらに割るって…なんだ??

◎問題 P(x)を(x-1)(x+2)で割ったときのあまりが 7x P(x)を(x-3)で割ったときのあまりが 1 であるとき, P(x)を(x-1)(x+2)(x-3)で割ったときのあまりを求めなさい この問題の解答 数字から考える「余りをさらに割る」 235の中には40が何個入っているか 235÷12…

【整式の割り算】P(x)を(x-1)(x+2)(x-3)で割ったときのあまりの求め方2パターン

◎問題 P(x)を(x-1)(x+2)で割ったときのあまりが 7x P(x)を(x-3)で割ったときのあまりが 1 であるとき, P(x)を(x-1)(x+2)(x-3)で割ったときのあまりを求めなさい 解答1.剰余の定理を使った解法 解答2.余りをさらに割る解法 さいごに 解答1.剰余の定理…

負の数の整数部分と小数部分の考え方について解説します

◎問題 -2.34 の整数部分と小数部分を求めなさい 答えは2つある 答)その1 答)その2(こちらの答えが一般的) 負の数の整数部分と小数部分の考え方 まずは正の数で考える 数直線上で考えてみる 負の数の整数部分を数直線で考える -2.34の小数部分は0.34で…

【数学パズル】確率の難問「モンティーホール問題」は枚数を増やして考えると分かりやすい

◎問題 同じ模様のカードが3枚あり,その中の1枚は裏面に当たりと書かれています この3枚の中から1枚のカードを選んだとき,カードの裏側を確認する前に 選ばなかった2枚のうちハズレである1枚が取り除かれ,カードを選び直すかどうかを聞かれます この…

お金を貰えるのに断る?損得よりも感情を優先する心理「最後通牒ゲーム」

経済学では有名な「最後通牒ゲーム」 自分が利益を得られる場面でも,不公平を受け入れることはできないことがこの実験からわかるようです 最後通牒ゲームとは ゲームのルール 実験の結果 この実験からわかること さいごに 最後通牒ゲームとは ゲームのルー…

【証明】数学的帰納法に納得できないときの考え方を紹介します

数学の証明で使われる「数学的帰納法」 なぜこの方法で証明ができるのか,なかなか納得がいかない人も多いのではないでしょうか 今回は有名な「ドミノ倒し」を使って数学的帰納法を考えてみます ◎問題 永遠に続いているドミノ倒しがありますこのドミノがすべ…

どうしてルート√を外すときに|絶対値|をつけるの?

◎問題 次の値を簡単にしなさい (1) (2) 問題の答え 1) 2) どちらも答えは5になります ポイントは「中身をプラスにする」 ここでのポイントは 「 は ◯ がマイナスでも,プラスにしてルートを外す」ことです つまり, 「中身がマイナスでもプラスでも,必…

【不等式】「ax≦3」xの係数が文字になったときの場合分けを紹介します

不等式を解くときの場合分けで注意すべき3点 1.係数がプラス のとき 2.係数が 0 のとき 3.係数がマイナス のとき について解説します ◎問題 不等式 を解きなさい 1.係数がプラスのとき 2.係数が 0 のとき( a = 0 ) 3.係数がマイナスのとき さ…

【最短経路】PもCも!も使わない万能な解き方を紹介します

◎問題 上の図において、次のような経路は何通りあるか答えなさい。 (1) AからBまでの最短経路 (2) AからBまでの最短経路でCを必ず通る経路 (3) AからBまでの最短経路でCを通らない経路 1) AからBまでの最短経路 手順1.端に1を書いていく 手順2.数を足し…

【図形・作図】外分点がうまく書けないときの対処法を紹介します

線分ABを外分するとき,左側と右側のどちらに点を取ればいいのか分からなくなったときの方法を紹介します 1)ABを 1 : 2 に内分する点P 2)ABを 2 : 5 に外分する点Q 「適当に書いてみる」が大切 3)ABを 5 : 2 に外分する点R 4)BAを 2 : 5 に外…

10の△乗の桁数、小数第〇位が分からないときの対処法を紹介します

どの数字に注目すればいいのか混乱しがちなこの問題 は◯桁の数、小数第◯位の考え方について解説します nは〇桁の数である 簡単な数で確かめる nについて考える nは小数第◯位で初めて0以外の数が現れる 簡単な数で考える nで考える まとめ nは〇桁の数で…

【解と係数の関係】公式が覚えられないときの対処法2パターン(脱暗記)

2 次方程式解と係数の関係は 3 次方程式の解と係数の関係は これらの公式を忘れてしまったときに思い出す方法を紹介します パターン1.因数分解の形から考える メモ. 3 次方程式の解と係数の関係 パターン2.解の公式を使う まとめ パターン1.因数分解…

【対数log】桁数の≦と<ってどっちを使うべき?

対数の計算で出てくる この式ではなぜ片方だけが ≦ で表せるのかを解説します 数字を使って考える どちらも < で表すときもある まとめ 数字を使って考える 2 桁の整数は 10 から 99 まで( 10 以上 100 未満) 3 桁の整数は 100 から 999 まで( 100 以上 …

【確率統計】平均E(X),分散V(X),標準偏差σ(X)を表だけで求めてみたら意外と簡単だった

確率分布で平均や分散を求めるときに,長い式やΣが出てきて困ったことはありませんか??今回は,平均E(X),分散V(X),標準偏差σ(X)を表から求める方法を6つの手順で紹介します ◎問題 1個のさいころを投げて,出た目をXとするときXの平均E(X),分散V(X),…

【確率統計】Xの確率分布を求めなさいって...何をすればいいんですか??具体例で分かりやすく解説します

確率分布ってなんだ? 確率分布とは…「確率変数Xがとる値ごとの確率を表したもの」のことで簡単に言ってしまえば「Xとそれが起こる確率」を表にしたものですさっそくですが具体例をもとに考えてみましょう ◎問題 次の確率変数Xの確率分布を求めなさい(1)…

【原因の確率】表を書くだけ!?条件付き確率P□(〇)の式を簡単に理解する!

この記事では,条件付き確率で出てくる を表を書くことで,簡単に分かるようになります。 表から一瞬で答えを出す方法 (1)の解答 (2)の解答 P□(〇)の数式を使って考える方法 (1)「それが不良品である確率を求めなさい。」の解答 (2)「不良品であったとき、…

【2次方程式】重解のとき-b/aってなんだ?

問題集や参考書で見かける 「重解のとき x=-b/2a であるから...」 この一文に ??? となってしまう人も多いのではないでしょうか。 今回はこのx=-b/2aが,どこから出てきたのか。 下の◎問題を使って考えていきます。

【複素数】iと2iってどっちが大きいの?

等式・不等式の証明,相加平均と相乗平均の大小関係…そんな証明の後に学ぶであろう「複素数」 証明の後なので,ついつい の大きさを考えてしまいたくなるという方も多いのではないでしょうか 結論から言ってしまうと虚数 は大きさを持たない(正の数でも負の…