気ままな数学ノート

「調べても分からない」に寄り添う

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【不等式】「ax≦3」xの係数が文字になったときの場合分けを紹介します

不等式を解くときの場合分けで注意すべき3点

 1.係数がプラス のとき
 2.係数が 0 のとき
 3.係数がマイナス のとき

について解説します

◎問題

不等式 ax\leqq3 を解きなさい

1.係数がプラスのとき

①  a\gt0 のとき

 ax\leqq3 の両辺を a で割ると

  x\leqq\dfrac{3}{a}

a がプラスの数なので,不等号の向きは変わらない)

2.係数が 0 のとき( a = 0 )

a=0 のとき

 ax\leqq3

  0\cdot{x}\leqq3 

よって, x はすべての実数

0\cdot{x}\leqq3 のとき,
x にどんな数を代入しても 0\leqq3 となり不等式が成り立つ)

3.係数がマイナスのとき

a\lt0 のとき

 ax\leqq3 の両辺を a で割ると

  x\geqq\dfrac{3}{a}

a がマイナスの数なので,不等号の向きが逆になる)

①〜③より

  a\gt0  のとき  x\leqq\dfrac{3}{a}

  a=0  のとき  x はすべての実数

  a\lt0  のとき  x\geqq\dfrac{3}{a}

さいごに

今回の問題は

不等式 ax\leqq3 について考えたので
a=0 のとき x はすべての実数」となりました

これが,不等式 ax\geqq3 となると
a=0 のとき x は解なし」となるので注意が必要ですね

0\cdot{x}\geqq3 のとき,
x にどんな数を代入しても 0\geqq3 となり不等式が成り立たない)