気ままな数学ノート

「調べても分からない」に寄り添う

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なぜ?三角比の相互関係

よく見かけるこの3つの公式

\displaystyle\tanθ=\frac{\sinθ}{\cosθ}

\sin^2 θ+\cos^2 θ=1

\displaystyle\tan^2 θ+1=\frac{1}{\cos^2 θ}

 この成り立ちを順に考えましょう。 

◎三角比の確認 右の三角形で \sinθ,\cosθ, \tanθ

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\begin{aligned}\sinθ &=\frac{a}{c} \\ \cosθ &=\frac{b}{c} \\ \tanθ &=\frac{a}{b}\end{aligned}

これを変形して

 c\sinθ=ac\cosθ=bb\tanθ=a

 

\displaystyle\tanθ=\frac{\sinθ}{\cosθ} 

 \displaystyle\tanθ=\frac{a}{b} から

 \require{cancel}\displaystyle\tanθ=\frac{a}{b}=\frac{\cancel{c}\sinθ}{\cancel{c}\cosθ}=\frac{\sinθ}{\cosθ}

 \sinθ,\cosθ どっちが上(分子)だったっけ...??

そんなときは先ほどの三角形を書き

 \displaystyle\tanθ=\frac{a}{b}a を使うのは \displaystyle\sinθ\left(=\frac{a}{c}\right) であることが分かれば、 \sinθ が分子だとわかります。

 

\sin^2 θ+\cos^2 θ=1

直角三角形といえば、"三平方の定理" がありました。

 a^2 + b^2 = c^2

この式に先ほど変形したものを代入すれば

\begin{aligned}a^2 + b^2 &=c^2 \\ c^2\sin^2 θ+c^2\cos^2 θ &=c^2 \\ \sin^2 θ+\cos^2 θ&=1 \end{aligned}

 

\displaystyle\tan^2 θ+1=\frac{1}{\cos^2 θ}

この式を暗記する必要はありません。
②の式から \tanθ を導きましょう。
②式の両辺を \cos^2 θ で割ると

\begin{aligned}\sin^2 θ+\cos^2 θ &=1 \\ \frac{\sin^2 θ}{\cos^2 θ}+\frac{\cos^2 θ}{\cos^2 θ} &=\frac{1}{\cos^2 θ} \\ \left(\frac{\sinθ}{\cosθ}\right)^2 +1 &=\frac{1}{\cos^2 θ} \\ \tan^2 θ+1 &=\frac{1}{\cos^2 θ}\end{aligned}

 

いかがでしたか?
理屈を追って考えると、覚える内容を減らすことができますね。