【２次方程式】重解のとき-b/aってなんだ？

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問題集や参考書で見かける
「重解のとき $x=-\frac{b}{2a}$ であるから...」
この一文に？？？となってしまう人も多いのではないでしょうか。
今回はこの $x=-\frac{b}{2a}$ が，どこから出てきたのか。
下の◎問題を使って考えていきます。

◎問題

2 次方程式 $x^2+mx+m=0$ ・・・①　が重解を持つとき，定数 $m$ の値を求めよ。また，そのときの重解を求めよ。

ｍの値を 2 次方程式に代入してｘを求める方法
重解の公式-b/2aをつかう方法
-2/mってなんだ？
まとめ

ｍの値を 2 次方程式に代入してｘを求める方法

解）
この 2 次方程式の判別式を $D$ とすると
　　　　 $D=m^2-4m$
2 次方程式が重解をもつのは， $D=0$ のときであるから
　　　　 $m^2-4m=0$
よって，
　　　　 $m(m-4)=0$

これを解いて， $m=0,4$

$m=0$ のとき，
2 次方程式 ① は $x^2+0x+0=0$
つまり， $x^2=0$ であるから $x=0$

$m=4$ のとき，
2 次方程式 ① は $x^2+4x+4=0$
つまり， $(x+2)^2=0$ であるから $x=-2$

重解の公式-b/2aをつかう方法

別解）
この 2 次方程式の判別式を $D$ とすると

　　　　・・・・（省略）・・・・

これを解いて， $m=0,4$

また重解は $x=-\frac{m}{2}$ であるから

$m=0$ のとき $x=0$ ， $m=4$ のとき $x=-2$

と値を求めることもできる。

-2/mってなんだ？

$x=-\frac{b}{2a}$ なんて公式を知らなくとも， $m$ の値を元の 2 次方程式に代入すれば $x$ の値を求めることができます。
では， $x=-\frac{m}{2}$ はどこからやってきたのでしょうか？

考えるためのポイント

ポイントは 2 つあります。

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①　判別式 $D=b^2-4ac$ は，解の公式の √ の中身であること
②　「2 次方程式が重解を持つ」のは
　2 次方程式の判別式 $D$ が $D=0$ であること

実際の考え方

例えば 2 次方程式 $x^2+6x+9=0$ ・・・② の解を求めるとき，
この 2 次方程式を変形して
　　　　 $(x+3)^2=0$
よって　 $x=-3$ （重解）

因数分解が難しいときは，解の公式
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ から

$x=\frac{-6\pm\sqrt{6^2-4･1･9}}{2･1}=\frac{-6\pm\sqrt{0}}{2}=-3$
と求めることもできました。

ここでは，”重解”という言葉からわかるように，解が $x=3$ の１つだけになっていますね。
つまり，解が１つなら解の公式を使ったときの √ の中身が 0 になっているはずだ!!ということに気が付きます。
　※　もし，√ の中身が 0 でないときは　　　　　　※
　　　　 $x=-6\pm\sqrt{□}$
$=-6+\sqrt{□},-6-\sqrt{□}$
　※　　のように解が 2 つになってしまいます。　　※

【結論】√の中身が 0 ということは

話を◎問題に戻すと，
2 次方程式 $x^2+mx+m=0$ ・・・① が重解を持つということは，
① の判別式 $D$ が $D=0$ の形になる。
つまり ① に対して解の公式を使うと， √ の中身が 0
$x=\frac{-m\pm\sqrt{0}}{2a}$ となるので，初めから √ をなくした $x=-\frac{m}{2a}$ を考えれば良い。
これが謎の一文「重解のとき $x=-\frac{b}{2a}$ であるから...」の正体でした。

まとめ

いかがでしたか？
$\displaystyle{x=-\frac{b}{2a}}$ という公式を知らずとも，重解を求めることはできますが，知っていると計算のスピードが上がるのではないでしょうか。