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【原因の確率】表を書くだけ!?条件付き確率P□(〇)の式を簡単に理解する!

この記事では,条件付き確率で出てくる
 P(E)

=P(A\capE)+P(B\capE)
=P(A)×P_{A}(E)+P(B)×P_{B}(E)
を表を書くことで,簡単に分かるようになります。
◎問題

同じ製品を機械A・Bで製造している工場がある。
製品全体の70%を機械Aで作っており,不良品が現れる確率は機械Aで5%,機械Bで8%である。製品の中から1個を取り出したとき
(1) それが不良品である確率を求めなさい。
(2) 不良品であったとき、それが機械Aの製品である確率を求めなさい。

表から一瞬で答えを出す方法

(1)の解答

全部で1000個の製品を作ったとする。
・製品全体の70%が機械Aで作られる。
・機械Aでは5%の確率で不良品が現れる。
これを表で表してみると

表を作ってみると分かりやすい

機械Bについても同じように考え、表を作ってみると


製品は全部で1000個あり,そのうち不良品の合計は59個であるから
求める確率は\frac{59}{1000}

(2)の解答



不良品は全部で59個あり,そのうち機械Aで作られた不良品は35個であるから
求める確率は\frac{35}{59}

P□(〇)の数式を使って考える方法

取り出した1個が,
機械Aの製品であるという事象を・・・A
機械Bの製品であるという事象を・・・B
不良品である事象を・・・E
とすると

製品全体の
70%を機械Aで作っているから,
 P(A)=\frac{70}{100}
 P(B)=\frac{30}{100}

不良品が現れる確率は
機械Aで5%,機械Bで8%であるから,
 P_{A}(E)=\frac{5}{100}
 P_{B}(E)=\frac{8}{100}
と表せる。

(1)「それが不良品である確率を求めなさい。」の解答

求めたい確率P(E)
P(E)=\frac{59}{1000}となりましたが,
P(E)=\frac{59}{1000}=\frac{35}{1000}+\frac{24}{1000}と表せますね。

先ほどの表をP_{□}(〇)を用いて表してみると
機械Aで不良品ができる確率P(A\capE)
 P(A\capE)=P(A)×P_{A}(E)=\frac{70}{100}×\frac{5}{100}=\frac{35}{1000}
機械Bで不良品ができる確率P(B\capE)
 P(B\capE)=P(B)×P_{B}(E)=\frac{30}{100}×\frac{8}{100}=\frac{24}{1000}となります。

この考え方が分かってしまえば、求めたい確率P(E)
 P(E)
=P(A\capE)+P(B\capE)
=P(A)×P_{A}(E)+P(B)×P_{B}(E)
=\frac{35}{1000}+\frac{24}{1000}=\frac{59}{1000}と求められることに納得できますね。

(2)「不良品であったとき、それが機械Aの製品である確率を求めなさい。」の解答

求めたい確率はP_{E}(A)で,
これは「不良品全体(E)」のうち,何個が「機械Aで作られた不良品(A\capE)」なのかを求める確率であるから
 P_{E}(A)
=\frac{P(A\capE)}{P_{E}(A)}
=\frac{35}{1000}÷\frac{59}{1000}=\frac{35}{59}
と求められますね。

まとめ

条件付き確率の記号を見ただけで,難しいな...と諦めたくなってしまうかもしれませんが
表を書くことでかけ算の成り立ちが理解できるのではないでしょうか。
原因の確率では,陰性・陽性の誤判断をしてしまう検査キットの問題なども表を書くだけで考えやすくなると思います。