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【整式の割り算】P(x)を(x-1)(x+2)(x-3)で割ったときのあまりの求め方２パターン

数学
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◎問題

P(x)を(x-1)(x+2)で割ったときのあまりが 7x

P(x)を(x-3)で割ったときのあまりが 1 であるとき，

P(x)を(x-1)(x+2)(x-3)で割ったときのあまりを求めなさい

解答１．剰余の定理を使った解法

P(x) を (x-1)(x+2)(x-3) で割ったときの商を Q_1(x)，余りを ax^2+bx+cとすると

　 P(x)=(x-1)(x+2)(x-3)Q_1(x)+ax^2+bx+c ・・・①　と表せる

P(x) を (x-1)(x+2) で割ったときの商を Q_2(x) とすると，あまりが 7x であるから

　 P(x)=(x-1)(x+2)Q_2(x)+7x

よって，

　 P(1)=7，P(-2)=-14

また， P(x) を (x-3) で割ったときのあまりが 1 であるから

　 P(3)=1

① と P(1)=7，P(-2)=-14，P(3)=1 から

　 {\displaystyle \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} a+b+c=7 \\ 4a-2b+c=-14 \\ 9a+3b+c=1 \end{array} \right. \end{eqnarray} }

　これを解いて，a=-2，b=5，c=4

　従って，求める余りは -2x^2+5x+4

解答２．余りをさらに割る解法

P(x) を (x-1)(x+2)(x-3) で割ったとき商を Q_1(x)，余りを ax^2+bx+cとすると

　 P(x)=(x-1)(x+2)(x-3)Q_1(x)+ax^2+bx+c ・・・①　と表せる

ここで，

　 (x-1)(x+2)(x-3)Q_1(x) は (x-1)(x+2) で割り切れるので

　 P(x) を (x-1)(x+2) で割ったときの余りは，

　（ P(x) を (x-1)(x+2)(x-3) で割ったときの余りである）

　 ax^2+bx+c を (x-1)(x+2) で割ったときの余りと等しくなる

よって，

　 ax^2+bx+c=a(x-1)(x+2)+7x ・・・② と表せる

このことを用いると ① は

　 P(x)=(x-1)(x+2)(x-3)Q_1(x)+a(x-1)(x+2)+7x ・・・③

また， P(x) を (x-3) で割ったときのあまりが 1 であるから

　 P(3)=1 となる

よって ③ は

　 P(3)=a(3-1)(3+2)+7・3=10a+21=1

　ゆえに　 a=-2

② から

　 ax^2+bx+c=-2(x-1)(x+2)+7x=-2x^2+5x+4

さいごに

余りを更に割るの考え方は

こちらの記事をご覧ください

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