気ままな数学ノート

【整式の割り算】あまり(ax^2+bx+c)をさらに割るって…なんだ??

数学

◎問題

P(x)を(x-1)(x+2)で割ったときのあまりが 7x

P(x)を(x-3)で割ったときのあまりが 1 であるとき，

P(x)を(x-1)(x+2)(x-3)で割ったときのあまりを求めなさい

この問題の解答
数字から考える「余りをさらに割る」
- 235の中には40が何個入っているか
- 235÷120 の余りの中に 40 が何個入るか
文字で考える「余りをさらに割る」
- P(x)の中に(x-1)(x+2)が何個あるか
- P(x)の中に(x-1)(x+2)(x-3)が何個あるか
さいごに

この問題の解答

この問題の解答はこちらをご覧ください

今回はこの解法２で出てくる

　「 $P(x)$ を $(x-1)(x+2)$ で割ったときの余りは，

　（ $P(x)$ を $(x-1)(x+2)(x-3)$ で割ったときの余りである）

　 $ax^2+bx+c$ を $(x-1)(x+2)$ で割ったときの余りと等しくなる」

について解説します

数字から考える「余りをさらに割る」

$235$ という数を $120$ と $40$ で割ったときの余りについて考えます

235の中には40が何個入っているか

$235\div40=5$ あまり $35$ を変形して

　 $235=40×5+35$

$235$ の中には $40$ が $5$ つ， $35$ が $1$ つ入ると考えられる・・・①

235÷120 の余りの中に 40 が何個入るか

$235\div120=1$ あまり $115$ 　これを変形して

　 $235=120\times1+115$

これを， $40$ を用いて表すと

　 $235=120×1+115$ は，

　 $235=40×3×1+115$

　この式から， $235$ の中には $40$ が $3$ つはありそうなことが分かります

① から「 $235$ の中には $40$ が $5$ つ， $35$ が $1$ つ入ると考えられる」ので

　余りである $115$ の中にあと $2$ つの $40$ と $1$ つの $35$ が入っていると言えますね

文字で考える「余りをさらに割る」

ここからは，具体例の数字を問題に当てはめます

上の話での

　 $235$ を $P(x)$

　 $120$ を $(x-1)(x+2)(x-3)$

　 $40$ を $(x-1)(x+2)$

として考えていきましょう

P(x)の中に(x-1)(x+2)が何個あるか

$P(x)\div(x-1)(x+2)=Q_1(x)$ あまり $7x$ を変形して

　 $P(x)=(x-1)(x+2)Q_1(x)+7x$

$P(x)$ の中にはいくつかの $(x-1)(x+2)$ と $1$ つの $7x$ があると考えられる・・・②

P(x)の中に(x-1)(x+2)(x-3)が何個あるか

$P(x)\div(x-1)(x+2)(x-3)=Q_2(x)$ あまり $ax^2+bx+c$

として，これを変形すると

　 $P(x)=(x-1)(x+2)(x-3)Q2(x)+ax^2+bx+c$

② から「 $P(x)$ の中にはいくつかの $(x-1)(x+2)$ と $1$ つの $7x$ があると考えられる」ので

　 $ax^2+bx+c$ の中に $1$ つの $7x$ といくつかの $(x-1)(x+2)$ があると言えますね

よって，

　 $ax^2+bx+c\div(x-1)(x+2)=a$ あまり $7x$

と考えることができます

さいごに

ユークリッドの互除法にも「あまりをさらに割る」という考え方がありましたが，

割り算を考えるのが難しくなるときには，「〇〇が何個と◇◇が１つある」のように考えられるといいですね

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