気ままな数学ノート

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【解と係数の関係】公式が覚えられないときの対処法2パターン(脱暗記)

 2 次方程式解と係数の関係は

  \alpha+\beta=-\frac{b}{a}

  \textcolor{cyan}{\alpha\beta=\frac{c}{a}} 

 3 次方程式の解と係数の関係は

 \alpha+\beta+\gamma=-\frac{b}{a}

 \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\frac{c}{a}

 \alpha\beta\gamma=-\frac{d}{a}

これらの公式を忘れてしまったときに
思い出す方法を紹介します

パターン1.因数分解の形から考える

 2 次方程式 ax^{2}+bx+c=0 の 2 つの解が \alpha\beta のとき

  ax^{2}+bx+c=0  ・・・① は

  a(x-\alpha)(x-\beta)=0 の形になると考えられる
これを変形して
  a{x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0}

  ax^2-a(\alpha+\beta)x+a\alpha\beta=0  ・・・②

ここで ① と ② の係数を比べてみると

  \require{color}ax^{2}\textcolor{red}{+b}x\textcolor{cyan}{+c}=0 ・・・①

  \require{color}ax^{2}\textcolor{red}{-a(\alpha+\beta)}x\textcolor{cyan}{+a\alpha\beta}=0 ・・・

 -a(\alpha+\beta)=b つまり  \alpha+\beta=-\frac{b}{a}

 \textcolor{cyan}{a\alpha\beta=c} つまり  \textcolor{cyan}{\alpha\beta=\frac{c}{a}}

この方法は 3 次方程式の解と係数でも使うことができます

メモ. 3 次方程式の解と係数の関係

 3 次方程式 ax^3+bx^2+cx+d=0 の 3 つの解が \alpha\beta\gamma のとき

  ax^3+bx^2+cx+d=0  ・・・① は

  a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)=0 の形になると考えられる
これを変形して

  ax^{3}-a(\alpha+\beta+\gamma)x^{2}+a(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x-\alpha\beta\gamma=0

①の係数と比較すると

\alpha+\beta+\gamma=-\frac{b}{a}

\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\frac{c}{a}

\alpha\beta\gamma=-\frac{d}{a}

と導けますね

パターン2.解の公式を使う

 2 次方程式の解の公式 x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} を使って考える

 2 次方程式 ax^{2}+bx+c=0 の 2 つの解 \alpha\beta

  \alpha=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

  \beta=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

とすると

  \alpha+\beta=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

    =-\frac{2b}{2a}

    =-\frac{b}{a}

  \alpha\beta=(\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a})\times(\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a})

    =\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}

    =\frac{4c^2}{4a^2}

    =\frac{c}{a}

よって

\alpha+\beta=-\frac{b}{a}

\alpha\beta=\frac{c}{a}

まとめ

 2 次方程式でも 3 次方程式でも,解を使って因数分解の形に変形(因数定理)できれば暗記を少しでも減らすことができそうですね