気ままな数学ノート

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【解と係数の関係】公式が覚えられないときの考え方２パターン（脱暗記）

数学

2 次方程式解と係数の関係は

　 $\alpha+\beta=-\frac{b}{a}$

　 $\textcolor{cyan}{\alpha\beta=\frac{c}{a}}$

3 次方程式の解と係数の関係は

　 $\alpha+\beta+\gamma=-\frac{b}{a}$

　 $\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\frac{c}{a}$

　 $\alpha\beta\gamma=-\frac{d}{a}$

これらの公式を忘れてしまったときに
思い出す方法を紹介します

パターン１．因数分解の形から考える
- メモ． 3 次方程式の解と係数の関係
パターン２．解の公式を使う
まとめ

パターン１．因数分解の形から考える

2 次方程式 $ax^{2}+bx+c=0$ の 2 つの解が $\alpha$ ， $\beta$ のとき

　 $ax^{2}+bx+c=0$ 　・・・①　は

　 $a(x-\alpha)(x-\beta)=0$ の形になると考えられる
これを変形して
　 $a{x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0}$

　 $ax^2-a(\alpha+\beta)x+a\alpha\beta=0$ 　・・・②

ここで ① と ② の係数を比べてみると

　 $\require{color}ax^{2}\textcolor{red}{+b}x\textcolor{cyan}{+c}=0$ ・・・①

　 $\require{color}ax^{2}\textcolor{red}{-a(\alpha+\beta)}x\textcolor{cyan}{+a\alpha\beta}=0$ ・・・②

$-a(\alpha+\beta)=b$ 　つまり　 $\alpha+\beta=-\frac{b}{a}$

$\textcolor{cyan}{a\alpha\beta=c}$ 　つまり　 $\textcolor{cyan}{\alpha\beta=\frac{c}{a}}$

この方法は 3 次方程式の解と係数でも使うことができます

メモ． 3 次方程式の解と係数の関係

3 次方程式 $ax^3+bx^2+cx+d=0$ の 3 つの解が $\alpha$ ， $\beta$ ， $\gamma$ のとき

　 $ax^3+bx^2+cx+d=0$ 　・・・①　は

　 $a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)=0$ の形になると考えられる
これを変形して

　 $ax^{3}-a(\alpha+\beta+\gamma)x^{2}+a(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x-\alpha\beta\gamma=0$

①の係数と比較すると

$\alpha+\beta+\gamma=-\frac{b}{a}$

$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\frac{c}{a}$

$\alpha\beta\gamma=-\frac{d}{a}$

と導けますね

パターン２．解の公式を使う

2 次方程式の解の公式 $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ を使って考える

2 次方程式 $ax^{2}+bx+c=0$ の 2 つの解 $\alpha$ ， $\beta$ を

　 $\alpha=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

　 $\beta=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

とすると

　 $\alpha+\beta=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

　　　　 $=-\frac{2b}{2a}$

　　　　 $=-\frac{b}{a}$

　 $\alpha\beta=(\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a})\times(\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a})$

　　　　 $=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}$

　　　　 $=\frac{4c^2}{4a^2}$

　　　　 $=\frac{c}{a}$

よって

$\alpha+\beta=-\frac{b}{a}$

$\alpha\beta=\frac{c}{a}$

まとめ

2 次方程式でも 3 次方程式でも，解を使って因数分解の形に変形（因数定理）できれば暗記を少しでも減らすことができそうですね