気ままな数学ノート

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2021の2021乗を15で割った余り

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 2021年の入試でよく使われたであろう 2021

一見すると素数のように感じますが...

2021は2乗ー2乗で表せる??

「知らないとできないよ」「これってひらめきでしょ??」と感じるかもしれないが
 2021=43×47 と表すことができます。
これを因数分解
 a^2-b^2=(a+b)(a-b) 
を利用して考えてみましょう。
実はこの 2021 は2乗ー2乗で表せる数で,
 45^2=2025 から
 2021=2025-4
  =45^2-2^2
  =(45-2)(45+2)
  =43×47
導くことができますね。  

modで考える、15で割った余り 

◎mod の性質

a≡b (mod m),c≡d (mod m) のとき,次のことが成り立つ。 
 a+c≡b+d (mod m)
 aーc≡bーd (mod m)
 ac≡bd (mod m)
 an≡bn (mod m)n自然数

(例)mod を数字で考える

 15で割ったとき、余りが等しくなる数を mod を用いて表すと

 ‥≡ 62 ≡ 47 ≡ 32 ≡ 17 ≡ 2 ≡ -13 ≡‥ ( mod 15 )

 このとき、どの数も 15 で割って 2 余る。

 

Point 

 ※ (-13)÷15=(-1)‥2 としていることに注意。

mod ではマイナスを扱ってもいい!

 

次からはmod の性質を使っていく

2021 で考える

 135×15=2025から

 2021≡-4 (mod15)
よって
 2021^{2021}≡(-4)^{2021}≡(-4)×16^{1000}

  ≡(-4)×1^{1000}≡-4≡11 (mod15)
従って
 2021^{2021}15 で割った余りは 11 である。

2021=43×47 を使う

 43≡-2 (mod15)

 47≡2 (mod15) から

 2021^{2021}≡(43×47)^{2021}≡(-2×2)^{2021}

  ≡(-4)^{2021}≡(-4)×16^{1000}≡-4≡11 (mod15)

として余りを求めることもできる。

近年の数字の素因数分解(参考)

 2023=7×17^2
 2025=3^4×5^2(=45^2)
 2027:素数
 2029:素数
 2031=3×677

となっている。