気ままな数学ノート

「調べても分からない」に寄り添う

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【組合せ】nCr=n-1Cr-1+n-1Cr を具体例で考える

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今回は次の等式について考えます。

◎問題

 次の等式を証明せよ

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はじめに

ただでさえ難しい式で,
解説を見ても

「特定の一つのものに注目する。」
「含む場合と含まない場合に分けて考える。」

の表現にピンと来ないのではないでしょうか。

分かりやすくするために,数字を使って考えてみましょう。

等式の考え方

4人の中から3人を選ぶとき,選び方の総数は 4C= 4 (通り)です。
A , B , C , D の4人で考えると,組の数は

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の4通り。
ここで,A を含むかどうかで分けると

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と分けられます。

A を含む3組について

A を含む3組は BC , BD , CD に A をくっつけた組と考えられるので
B , C , D の3人から2人を選ぶ 3C2 = 3 (通り) と同じになりますね。

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A を含まない1組について

A を含まない1組は,( A 以外の) B , C , D の3人から3人を選ぶ 3C3 = 1 (通り) 

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まとめ

4人の中にA を含むかどうかで考えれば

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の式が成り立ちますね。
これを n , r に戻して考えれば

” n 人の中から r 人を選び出すとき, n 人の中の特定の1人 A に着目すると
 r 人の中に A を含む組の数は n-1Cr-1
 A を含まない組の数は n-1Cr
従って,nCn-1Cr-1 n-1Cr が成り立つ。”

おわりに

いかがでしょうか。
難しそうに見える式は,数字を当てはめることで手がかりが見えてきそうですね。