今回は次の等式について考えます。
はじめに
ただでさえ難しい式で，
解説を見ても
「特定の一つのものに注目する。」
「含む場合と含まない場合に分けて考える。」
の表現にピンと来ないのではないでしょうか。
分かりやすくするために，数字を使って考えてみましょう。
等式の考え方
４人の中から３人を選ぶとき，選び方の総数は 4C3 = 4 (通り)です。
A , B , C , D の４人で考えると，組の数は
の４通り。
ここで，A を含むかどうかで分けると
と分けられます。
A を含む３組について
A を含む３組は BC , BD , CD に A をくっつけた組と考えられるので
B , C , D の３人から２人を選ぶ 3C2 = 3 (通り) と同じになりますね。
A を含まない１組について
A を含まない１組は，( A 以外の) B , C , D の３人から３人を選ぶ 3C3 = 1 (通り)
まとめ
４人の中にA を含むかどうかで考えれば
の式が成り立ちますね。
これを n , r に戻して考えれば
” n 人の中から r 人を選び出すとき， n 人の中の特定の１人 A に着目すると
r 人の中に A を含む組の数は n-1Cr-1
A を含まない組の数は n-1Cr
従って，nCr = n-1Cr-1 + n-1Cr が成り立つ。”
おわりに
いかがでしょうか。
難しそうに見える式は，数字を当てはめることで手がかりが見えてきそうですね。
