答)モンティーホール問題の解答
選び直したほうが当たる確率が2倍になる
当たる確率は
選びなおさない とき
選びなおした とき
よくある誤答
選びなおすと当たる確率が になる
→最初から「当たり」「はずれ」2枚だけなら で良いが
今回はそうではありません
選びなおしても当たる確率は で変わらない
→選んだ後にハズレである1枚を知ってしまうと確率は変化します
(クジ引きの席替えで狙っている席以外が埋まっていくのを見ると,狙っている席を引ける確率が高くなると感じます)
考え方
最初に1枚のカードを選ぶとき,当たる確率はどれを選んでも です
このとき,選ばなかった2枚のどちらかが当たりである確率は
(選ばなかった2枚の両方を裏返したときに当たる確率は と考えてもいいでしょう)
ここで,選ばれなかったカード2枚のうちハズレ1枚を裏返します
すると,裏返しにならなかった1枚が当たりである確率が となります
カードの枚数を増やして考える
カードを3枚から10枚に増やして考えましょう
10枚のうち1枚が当たりとすると
最初に選んだカードが当たる確率は ですね
このとき,選ばれなかった9枚のうちどれか1枚が当たりである確率は
(選ばなかった9枚の全部を裏返したときに当たる確率は と考えるといい)
ここで,選ばれなかった9枚のうちハズレ8枚を裏返します
裏返しにならなかった1枚があたる確率は,
選ばなかった9枚の全部を裏返したときに当たる確率 と同じと言えますね
さいごに
モンティーホール問題を条件付き確率として考えると
「 枚の中から最初の1枚を選んだ後に,残った 枚のうち 枚がハズレであると分かったときの残り1枚が当たる確率」となるようです
この確率を文字を使って表してみるのも,興味深いですね