気ままな数学ノート

「調べても分からない」に寄り添う

【三角関数の合成】sinθの前がx座標，cosθの前がy座標となる理由を解説します

数学

◎問題

$\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta+\dfrac{1}{2}\cos\theta$ を $r\sin(\theta+\alpha)$ の形にしなさい

この問題を解くときに

と座標を書き $r$ と $\alpha$ を求めますが

「sinθの前がx座標，cosθの前がy座標」となることに違和感を感じたことがあるのではないでしょうか

その理由は $\sin\theta$ での三角関数の合成が，「加法定理の逆であるから」です

三角関数の合成の考え方
sinθの前がx座標，cosθの前がy座標になる理由
sinθ の前を y 座標，cosθ の前を x 座標にしてもいい？

三角関数の合成の考え方

三角関数の加法定理から

　　 $\sin(\theta+☆)$

　 $=\sin\theta\cos☆+\cos\theta\sin☆$

　 $=\cos☆\sin\theta+\sin☆\cos\theta$

この変形から，

$\sin\theta$ の前に $\cos☆$ が， $\cos\theta$ の前に $\sin☆$ があれば

もとの $\sin(\theta+☆)$ の形に戻すことができます

　　 $\cos☆\sin\theta+\sin☆\cos\theta$

　 $=\sin\theta\cos☆+\cos\theta\sin☆$

　 $=\sin(\theta+☆)$

sinθの前がx座標，cosθの前がy座標になる理由

$\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta+\dfrac{1}{2}\cos\theta$ では

$\sin\theta$ の前が $\cos☆$ の形，

$\cos\theta$ の前が $\sin☆$ の形であれば $\sin(\theta+☆)$ にできるので

これを満たす角☆を単位円上で考えると

図から $☆=\dfrac{\pi}{6}$

よって， $\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta+\dfrac{1}{2}\cos\theta=\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{6}\right)$ と変形できます

sinθ の前を y 座標，cosθ の前を x 座標にしてもいい？

$\sin\theta$ ではなく， $\cos\theta$ の合成であれば

$\sin\theta$ の前を $y$ 座標， $\cos\theta$ の前を $x$ 座標としても計算できます

詳しくはこちらの記事をご覧ください

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