気ままな数学ノート

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【不等式】不等号の向きが変わるのはどんなとき?

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不等式を解くときに不等号の向きが逆になるのはどんなときなのか

結論は「xの係数が ー マイナスのとき」です

◎問題

次の不等式を解きなさい

(1) 3x\gt6

(2) 3x\gt-6

(3) -3x\gt6

(4) -3x\gt-6

(5) -\dfrac{x}{3}+2\geqq-6

(6) 4\lt-2x\lt6

不等式の四則計算(+-×÷)の具体例

例えば,48 という数について考える

4\lt8 の両辺に +2 ,-2 ,\times2 ,\div2,\times(-2),\div(-2) をすると

  4\lt8
+2 6\lt10
-2 2\lt6
\times2 8\lt16
\times(-2) -8\gt-16
\div2 2\lt4
\div(-2) -2\gt-4

両辺を「マイナスでかける・わる」とき不等号が逆向きになっていることが分かります

解答(1) 3x>6

3x\gt6 の両辺を3で割ると

 x\gt2

両辺をプラスの数で割ったので不等号の向きはそのまま

解答(2) 3x>-6

3x\gt-6 の両辺を3で割ると

  x\gt-2

両辺をプラスの数で割ったので不等号の向きはそのまま

解答(3) -3x>6

-3x\gt6 の両辺をー3で割ると

  x\lt-2

両辺をマイナスの数で割ったので不等号の向きは

解答(4) -3x>-6

-3x\gt-6 の両辺をー3で割ると

  x\lt2

両辺をマイナスの数で割ったので不等号の向きは

解答(5) -x/3+2>-6

-\dfrac{x}{3}+2\geqq-6  の両辺 \times3

-x+6\geqq-18  の両辺-6

   -x\geqq-24  の両辺\times(-1)

    x\leqq24

ここでは両辺にマイナスをかけたときに不等号の向きが逆になります

解答(6) 4<-2x<6

4\lt-2x\lt6  のすべての辺 \div(-2)

-2\gt{x}\gt-3

マイナスで割ったのですべての不等号の向きがになります

さいごに

不等式の両辺を「マイナスでかける・わる」と不等号が逆向きになる

つまり,「xの係数が ー マイナス」のときの計算に注意する

ことを意識して問題を解けるといいですね