気ままな数学ノート

「調べても分からない」に寄り添う

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【絶対値記号の外し方】場合分けで大切なのは「中身が0以上かどうか」

◎問題

次の式の絶対値記号を外しなさい

(1) |x|

(2) |x-2|

(3) |3x+5|

解答(1) |x|

|x|

x\geqq0 のとき |x|=x

x\lt0 のとき |x|=-x

解答(2) |x-2|

よくある誤答

|x-2|

x\geqq0 のとき |x-2|=x-2

x\lt0 のとき |x-2|=-(x-2)=-x+2

この考え方は「0以上かどうか」には注目できていますが

絶対値の場合分けでは「中身が0以上かどうか」を考えます

正しい考え方

|x-2|

x-2\geqq0 つまり, x\geqq2 のとき

  |x-2|=x-2

x-2\lt0 つまり, x\lt2 のとき

  |x-2|=-(x-2)=-x+2

よって

  x\geqq2 のとき  |x-2|=x-2

  x\lt2 のとき  |x-2|=-x+2

解答(3) |3x+5|

|3x+5|

3x+5\geqq0 つまり, x\geqq-\dfrac{5}{3} のとき

  |3x+5|=3x+5

3x+5\lt0 つまり, x\lt-\dfrac{5}{3} のとき

  |3x+5|=-(3x+5)=-3x-5

よって

  x\geqq-\dfrac{5}{3} のとき  |3x+5|=3x+5

  x\lt-\dfrac{5}{3} のとき  |3x+5|=-3x-5